Distribusi Peluang dan Ukuran Parameter Pop

DISTRIBUSI PELUANG

 

 

1.  PENDAHULUAN

Titik-titik sampel di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik / bilangan.

.·   Peubah Acak (Variabel Random)

Fungsi yang ditentukan dari titik-titik sample / anggota dalam ruang sampel sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata  disebut : PEUBAH ACAK / VARIABEL ACAK / RANDOM VARIABLE 

·   X dan x

Biasanya PEUBAH ACAK dinotasikan sebagai X (X kapital)

Nilai dalam X dinyatakan sebagai x (huruf kecil x).

 

Contoh 1 :

Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali

S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}

dimana G = GAMBAR  dan  A = ANGKA

X: Banyaknya gambar yang muncul

S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}

          ¯        ¯              ¯       ¯        ¯         ¯        ¯        ¯

          3         2        2        2         1         1        1         0

 

Perhatikan bahwa Range dari X adalah {0,1,2,3}

Nilai x1 = 0, x2 = 1 x3 = 2, x4 = 3

·   Kategori Peubah Acak

Peubah Acak dapat dikategorikan menjadi:

a.         Peubah Acak Diskrit  :       

Range dari X, nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.

®   untuk hal-hal yang dapat dicacah

Misal : Banyaknya Produk yang rusak = 12 buah

                      Banyak pegawai yang di-PHK= 5 orang     

b.        Peubah Acak Kontinu:      

Range dari X, nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat dihitung dan tidak terhingga

(memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan)

®        untuk hal-hal yang diukur (jarak, waktu, berat, volume)

       Misalnya  Jarak Pabrik ke Pasar = 35.57 km

                                  Waktu produksi per unit = 15.07 menit

                                   Berat  bersih produk = 209.69 gram

                                   Volume kemasan = 100.00 cc          

 

·   Distribusi Peluang Teoritis

     Adalah Tabel atau Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut peluangnya.

 

2.  DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

Definisi 1 :

Fungsi p(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X bila untuk setiap hasil x yang mungkin,

a. p(x) ³ 0

b.  = 1

c. P(X = x) = p(x)

 

Contoh 2 :

Dari contoh 1, diperoleh table distribusi peluang :

x	0	1	2	3
p(x)

Atau dapat dirumuskan :

p(x)= 

Jika dibuat grafik hasilnya sebagai berikut :

                    3/8      3/8         

 

          1/8                            1/8     

 

            0          1          2          3                 X

          Gambar 1. Distribusi peluang diskrit

Contoh 3 :

Distribusi peluang jumlah bilangan yang muncul bila dua dadu dilantunkan adalah :

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p(x)

 

 

3.  DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

Definisi 3 :

Fungsi f(x) adalah suatu fungsi padat peluang (densitas) peubah acak kontinu X, yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila

a. f(x) ³ 0 untuk semua x Î R

b. = 1

c. P(a < X < b) =

4. FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF

Definisi 2 :

Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak X dinyatakan oleh

     F(x) = P(X £ x) = 

 

Contoh 4 :

Distribusi kumulatif dari contoh 1 dengan tabel :

x	0	1	2	3
p(x)

          F(0) = p(0) =

          F(1) = p(0) + p(1) =  +  =

          F(2) = p(0) + p(1) + p(2) =  +  + =

          F(3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) =  +  +  +  =  1

F(1,5)= 4/8, F(5) = 1

Jadi   F(x) =

Jika dibuat grafik hasilnya sebagai berikut :

  -1      0          1          2          3          4     X

                   Gambar 2. Distribusi kumulatif diskrit

 

 

 

Contoh 5 :

Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi padat peluang

f(x)   = 

a. Carilah F (x)

b. Hitung P(0 < X £ 1)

Jawab :

a.  F(x) =  =  =  =  untuk -1 < x < 2

     F(x) = 0 untuk x < -1 dan F(x) = 1 untuk x > 2.

 

b.  Dari hasil a diperoleh : P(0 < X £ 1) = F(1) – F(0) =  -  =

atau dengan menggunakan fungsi padat peluang :

P(0 < X £ 1) =  =  =

 

SIFAT-SIFAT FUNGSI DISTRIBUSI (KUMULATIF)

1.

2.

3. F(x) tidak turun artinya jika b> a maka F(b) > F(a)

4. F(x) kontinyu dari kanan artinya

 

Akibat :

1. Untuk X VR Diskrit, p(x_i) = F(x_i) – F (x_i-1)

2. Untuk X VR kontinu :

·    P (a < X < b) = F(b) – F(a)

·    P(X=a) = 0

·    P (a < X < b) = P (a < X < b) = P (a < X < b)= P (a < X < b)

·       f(x) = 

 

UKURAN PARAMETER POPULASI

MEAN POPULASI

Mean populasi dari suatu variable random X didefinisikan sebagai :

µ = E(X) =

 

VARIAN POPULASI

Varian populasi dari suatu variable random X didefinisikan sebagai :

σ² = Var (X) = E (X-E(X))² =

Ternyata Var (X) = E(X²) – (E(X))² = E(X²) - µ².

Contoh :

X VR dengan distribusi peluang sbb:

x	0	1	2	3
p(x)

Hitung mean dan varian dari X

Jawab

E(X) =0.1/8+1.3/8+2.3/8+3.1/8 =12/8

E(X²) =0.1/8+1.3/8+4.3/8+9.1/8=24/8

Var(X) = E(X²)- (E(X))² = 24/8-144/64 =48/64

M_X(t) = 1/8 +e^t.3/8+e^2t.3/8+e^3t.1/8

Tugas 2.

Misal X menyatakan banyaknya mobil yang dicuci di suatu pencucian mobil pada jam 16.00 sd 17.00 pada  setiap hari minggu mempunyai sebaran peluang :

x	4	5	6	7	8	9
P(X=x)	1/12	1/12	1/4	1/4	1/6	1/6

Bila Y= 3X-2 menyatakan uang ($) yang dibayarkan oleh manejer kepada petugas cuci mobil, tentukan penerimaan harapan petugas pencuci mobil pada suatu hari minggu pada periode waktu tsb (E(Y)).

 

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Fungsi pembangkit momen dari V R X adalah

M_X(t) = E(e^tX) =

 

HUBUNGAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAN MEAN

.

.

.

Contoh 6. (HAL 44)

 

i	1	2	3	4
xi	0	1	2	3
p(xi)

Hitung E(X), Var(X), M_X(t)

E(X)= 0.1/8+1.3/8+2.3/8+3.1/8=12/8=3/2

E(X²) = 0.1/8+1.3/8+4.3/8+9.1/8=24/8=3

Var(X) =3-(3/2)²=3-9/4=3/4

M_X(t) = e^t.0.1/8+e^t.1.3/8+e^t.2.3/8+e^t.3.1/8